所用事实

• 指示函数 $\mathbf 1_A$ 在 $A$ 上取 1，在 $A^c$ 上取 0；
• $\mathbb E[\mathbf 1_A]=\mathbb P(A)$；
• 期望具有线性。

逐步推导

固定任意 $\omega\in\Omega$。按照 $\omega$ 是否属于 $A$、$B$，共有 4 种情形：

1. 若 $\omega\notin A$ 且 $\omega\notin B$，等式两边都是 0；
2. 若 $\omega\in A$ 且 $\omega\notin B$，左边为 1，右边为 $1+0-0=1$；
3. 若 $\omega\notin A$ 且 $\omega\in B$，左边为 1，右边为 $0+1-0=1$；
4. 若 $\omega\in A\cap B$，左边为 1，右边为 $1+1-1=1$。

因此恒等式对每个 $\omega$ 都成立。两边取期望并使用线性，得到
$$ \mathbb P(A\cup B) =\mathbb P(A)+\mathbb P(B)-\mathbb P(A\cap B). $$

假设用途

$A,B$ 必须是事件，才能保证相关指示函数可测、概率和期望有定义。整个证明不需要 $A,B$ 独立。

常见错误

把 $\mathbb P(A\cap B)$ 直接写成 $\mathbb P(A)\mathbb P(B)$。这个乘法公式需要独立性，本题没有该假设，也不需要它。

所用事实

简单随机变量的期望是各取值按其概率加权的和；也可将 $X$ 写成指示函数的线性组合。

逐步推导

因为 $X=2$ 在 $A$ 上、$X=-1$ 在 $A^c$ 上，所以
$$ X=2\mathbf 1_A-\mathbf 1_{A^c} =2\mathbf 1_A-(1-\mathbf 1_A) =3\mathbf 1_A-1. $$
利用期望线性以及 $\mathbb E[\mathbf 1_A]=p$，
$$ \mathbb E[X]=3p-1. $$
要使期望为 0，必须有 $3p-1=0$，故
$$ p=\frac13. $$
当 $p=1/3$ 时，$X$ 仍然只可能取 $2$ 或 $-1$，从不取 0，但其期望等于 0。因此期望是概率加权中心，不必属于随机变量的值域。

假设用途

条件 $\mathbb P(A)=p$ 决定两种取值的权重；$\mathbb P(A^c)=1-p$ 来自概率空间总质量为 1。

常见错误

把期望理解成“最常出现的值”。最常出现的值是众数概念，和期望不是同一个对象。

所用事实

只要 $X,Y$ 可积，期望就满足
$$ \mathbb E[X+Y]=\mathbb E[X]+\mathbb E[Y], $$
不需要独立性。

逐步推导

因为 $Y=X$，所以逐点有 $X+Y=2X$。于是
$$ \mathbb E[X+Y]=\mathbb E[2X]=2\mathbb E[X]. $$
除非 $X$ 几乎处处为常数等退化情形，否则 $Y=X$ 表示二者完全相关，并不独立。例如事件 $\{X\in C\}$ 与 $\{Y\in C\}$ 实际是同一事件，通常不会满足概率乘法公式。

假设用途

可积性 $\mathbb E|X|<\infty$ 保证上述期望都是有限且有定义的。没有使用独立性。

常见错误

把“独立随机变量的方差可加”误记成“只有独立随机变量的期望才可加”。前者通常需要独立性，后者不需要。

所用事实

若非负随机变量 $Y$ 满足 $\mathbb E[Y]=0$，则 $Y=0$ 几乎处处。

逐步推导

定义
$$ Y=|X-a|. $$
绝对值保证 $Y\ge0$，题设给出 $\mathbb E[Y]=0$。为不把所用命题当成黑箱，也可直接证明：对每个正整数 $m$，Markov 不等式给出
$$ \mathbb P(Y\ge1/m) \le m\mathbb E[Y]=0. $$
又因为
$$ \{Y>0\}=\bigcup_{m=1}^{\infty}\{Y\ge1/m\}, $$
可数次可加性给出 $\mathbb P(Y>0)=0$。因此 $Y=0$ 几乎处处，也就是 $|X-a|=0$ 几乎处处，等价于 $X=a$ 几乎处处。

假设用途

绝对值使 $Y$ 非负，这是从零期望推出几乎处处为零的关键。若只知道 $\mathbb E[X-a]=0$，正负部分可能抵消，不能推出 $X=a$。

常见错误

从 $\mathbb E[X-a]=0$ 直接推出 $X=a$。例如对称取值 $-1,1$ 的随机变量期望为 0，但并不恒等于 0。

所用事实

使用指示函数、期望的单调性以及 $\mathbb E[\mathbf 1_A]=\mathbb P(A)$。

逐步推导

先证明逐点不等式
$$ t\mathbf 1_{\{X\ge t\}}\le X. $$
固定 $\omega$：

• 若 $X(\omega)\ge t$，左边为 $t$，故左边不超过 $X(\omega)$；
• 若 $X(\omega)

对逐点不等式取期望，由单调性得到
$$ t\mathbb E[\mathbf 1_{\{X\ge t\}}]\le\mathbb E[X]. $$
指示函数期望等于事件概率，因此
$$ t\mathbb P(X\ge t)\le\mathbb E[X]. $$
最后因为 $t>0$，两边除以 $t$，得到所需结论。

假设用途

$X\ge0$ 用于事件补集上的比较 $0\le X(\omega)$；$t>0$ 用于最后除以 $t$ 且不改变不等号方向。

常见错误

对可能取负值的 $X$ 直接套用该形式。一般实随机变量应先对 $|X|$ 使用 Markov 不等式。

所用事实

方差定义为
$$ \operatorname{Var}(X) =\mathbb E\!\left[|X-\mathbb E[X]|^2\right], $$
且非负随机变量期望为 0 当且仅当它几乎处处为 0。

逐步推导

先证正向。若 $\operatorname{Var}(X)=0$，令
$$ Y=|X-\mathbb E[X]|^2. $$
则 $Y\ge0$ 且 $\mathbb E[Y]=0$，因此 $Y=0$ 几乎处处。平方为 0 当且仅当底数为 0，所以
$$ X=\mathbb E[X]\qquad\text{几乎处处}. $$
再证反向。若 $X=\mathbb E[X]$ 几乎处处，则 $|X-\mathbb E[X]|^2=0$ 几乎处处，故其期望为 0，即 $\operatorname{Var}(X)=0$。

假设用途

二阶可积保证方差有限且定义良好。正向证明依赖平方偏差的非负性。

常见错误

混淆“$\mathbb E[X]=0$”与“$\operatorname{Var}(X)=0$”。前者允许正负取值抵消；后者才表示随机变量几乎处处是常数。

所用事实

使用期望线性、指示函数期望公式和 Markov 不等式。也可用 union bound 得到同一概率上界。

逐步推导

首先，由期望线性，
$$ \mathbb E[N_t] =\sum_{i=1}^n\mathbb E[\mathbf 1_{\{|X_i|\ge t\}}] =\sum_{i=1}^n\mathbb P(|X_i|\ge t). $$
由于 $N_t\ge0$，对阈值 1 使用 Markov 不等式，
$$ \mathbb P(N_t\ge1)\le\mathbb E[N_t]. $$
再分别对非负随机变量 $|X_i|$ 使用 Markov 不等式，
$$ \mathbb P(|X_i|\ge t) \le\frac{\mathbb E|X_i|}{t}. $$
合并得到
$$ \mathbb P(N_t\ge1) \le\frac1t\sum_{i=1}^n\mathbb E|X_i|. $$
另一条路线是注意
$$ \{N_t\ge1\} =\bigcup_{i=1}^n\{|X_i|\ge t\}, $$
然后先用 union bound，再对每项使用 Markov 不等式。

假设用途

可积性保证每个 $\mathbb E|X_i|$ 有限；$t>0$ 允许除以 $t$。期望线性、union bound 和以上 Markov 估计都不需要 $X_i$ 独立。

常见错误

把并集概率写成各事件概率之和。一般只有上界；事件重叠时直接相加会重复计算。也不要为了使用期望线性而额外假设独立。

所用事实

离散随机变量的期望按概率加权求和；矩阵期望按矩阵元逐项计算。

逐步推导

首先，
$$ \mathbb E[X] =\frac12\cdot1+\frac12\cdot(-1)=0. $$
又因为 $X^2=1$ 恒成立，
$$ \operatorname{Var}(X) =\mathbb E[X^2]-(\mathbb E[X])^2 =1-0=1. $$
对角矩阵的期望逐项计算：
$$ \mathbb E[H] =\operatorname{diag}(\mathbb E[X_1],\ldots,\mathbb E[X_n]) =0. $$
但是每个对角元都等于 $1$ 或 $-1$，从不为 0。因此 $H$ 不可能是零矩阵；事实上
$$ H^2=I_n $$
恒成立。

随机矩阵连接

“矩阵元均值为 0”只消除了确定性的平均偏移，不会消除方差或谱波动。随机矩阵模型还必须明确方差和尺度；否则仅写“中心化”远远不够。

假设用途

独立性不是计算 $\mathbb E[H]$ 所必需的，但它把 $X_i$ 组织成标准的独立随机符号模型，便于后续研究联合谱行为。

常见错误

从 $\mathbb E[H]=0$ 推出 $H=0$。矩阵期望仍是平均值，不能代表每次随机实现。